Suy luận logic trong Toán lớp 5 không chỉ là tìm ra đáp số. Quan trọng hơn là biết lựa chọn dữ kiện, loại trường hợp không phù hợp và chứng minh vì sao kết quả tìm được là đúng. Bộ bài này đi từ lập bảng loại trừ đến xếp thứ tự, xét phát biểu đúng – sai và giải tình huống bằng cách giả sử hoặc suy luận ngược.
Kiến thức và phương pháp cần nhớ
Không có một công thức chung cho mọi bài suy luận. Học sinh cần đọc kỹ các từ “chỉ một”, “ngay trước”, “không”, “ít nhất” và “chắc chắn”; mỗi từ đều có thể quyết định cách giải.
- Loại trừ: liệt kê các khả năng rồi gạch bỏ lựa chọn trái dữ kiện; với nhiều người và nhiều đối tượng có thể lập bảng.
- Sắp xếp: đổi điều kiện thành vị trí tương đối, đặc biệt các cặp đứng liền nhau.
- Xét đúng – sai: thử tất cả khả năng cần thiết; không chỉ chọn trường hợp làm một câu đúng mà quên kiểm tra các câu khác.
- Tình huống chắc chắn: tìm trường hợp bất lợi nhất để chứng minh một số lượng lấy ra là đủ và ít hơn thì chưa đủ.
- Giả sử và làm ngược: bắt đầu từ trường hợp dễ tính hoặc từ kết quả cuối rồi kiểm tra lại bằng dữ kiện ban đầu.
Ví dụ có hướng dẫn
Ví dụ 1. Loại trừ ba lựa chọn
Ba bạn Hương, Lan, Minh nhận ba loại cây Mai, Đào, Trúc, mỗi bạn nhận một loại. Hương nhận Mai; Lan không nhận Trúc. Hỏi Minh nhận loại nào?
Lời giải. Hương đã nhận Mai. Lan không nhận Trúc nên phải nhận Đào. Minh nhận Trúc. Ta kiểm tra lại: ba bạn nhận đủ ba loại, không bị trùng.
Ví dụ 2. Trường hợp bất lợi nhất
Hộp có 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Cần lấy ít nhất bao nhiêu viên không nhìn để chắc chắn có hai viên cùng màu?
Lời giải. Hai viên đầu vẫn có thể khác màu. Viên thứ ba bắt buộc cùng màu với ít nhất một trong hai viên đầu. Vậy cần ít nhất 3 viên.
Ví dụ 3. Giả sử tạm
Trong chuồng có 12 con gà và thỏ, tổng cộng 34 chân. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu thỏ?
Lời giải. Giả sử tất cả là gà thì có 12 × 2 = 24 chân, ít hơn thực tế 10 chân. Mỗi con thỏ nhiều hơn gà 2 chân, nên có 10 : 2 = 5 con thỏ và 7 con gà. Kiểm tra: 5 × 4 + 7 × 2 = 34 chân.
15 bài tập luyện tập từ cơ bản đến nâng cao
Gợi ý học: nên tự giải ra giấy trước. Các bài 1–6 luyện bảng và thứ tự, 7–9 luyện lập luận đúng – sai, 10–12 luyện xét trường hợp, 13–15 luyện kết hợp nhiều dữ kiện.
Bài 1. Loại trừ trong bốn câu lạc bộ
An, Bình, Chi và Dũng đăng ký bốn câu lạc bộ Toán, Tiếng Anh, Khoa học và Mĩ thuật. Mỗi bạn chỉ tham gia một câu lạc bộ, không có hai bạn cùng câu lạc bộ. Chi học Tiếng Anh; An không chọn Toán hoặc Khoa học; Bình không chọn Toán. Hỏi mỗi bạn tham gia câu lạc bộ nào?
Gợi ý: Lập bảng bốn bạn và bốn câu lạc bộ, đánh dấu những lựa chọn bị loại.
Bài 2. Ai ngồi ở ghế nào?
Bốn bạn Phúc, Nam, Mai, Quỳnh ngồi vào bốn ghế đánh số 1, 2, 3, 4 từ trái sang phải. Mai không ngồi ghế 1 hoặc 4; Nam ngồi ngay bên trái Mai; Quỳnh ngồi ghế 4; Phúc không ngồi cạnh Quỳnh. Xác định chỗ ngồi của từng bạn.
Gợi ý: Thử Mai ở ghế 2 hoặc ghế 3, rồi xét điều kiện của Phúc.
Bài 3. Ba hộp dán nhãn đều sai
Có ba hộp: một hộp chỉ đựng bi đỏ, một hộp chỉ đựng bi xanh, hộp còn lại chứa cả bi đỏ và bi xanh. Ba hộp được dán lần lượt các nhãn “Đỏ”, “Xanh”, “Đỏ và xanh”, nhưng cả ba nhãn đều sai. Chỉ được rút một viên bi từ một hộp (không nhìn vào trong), làm thế nào xác định chính xác nội dung cả ba hộp?
Gợi ý: Nên lấy một viên từ hộp ghi “Đỏ và xanh”.
Bài 4. Xếp năm quyển sách
Năm quyển A, B, C, D, E được đặt thành một hàng từ trái sang phải. D ở ngoài cùng bên trái. A đứng ngay bên trái B. E đứng ngay bên trái C. C ở bên phải B. Hãy tìm thứ tự năm quyển.
Gợi ý: Gộp A–B và E–C thành hai cặp không thể tách rời.
Bài 5. Lịch hoạt động bốn ngày
Một lớp tổ chức bốn hoạt động Hát, Vẽ, Cờ vua, Thể thao vào thứ Hai, thứ Ba, thứ Tư, thứ Năm; mỗi ngày đúng một hoạt động. Vẽ diễn ra ngay trước ngày chơi Cờ vua; Hát diễn ra trước Vẽ; Thể thao vào thứ Năm. Lập lịch cho cả bốn ngày.
Gợi ý: Xếp ba hoạt động còn lại trong ba ngày đầu.
Bài 6. Thứ hạng năm bạn chạy bộ
Năm bạn An, Bình, Chi, Dũng, Hà về đích ở năm vị trí khác nhau. Dũng về nhất. An về ngay sau Bình. Hà về ngay trước Chi. Chi về sau An. Hỏi thứ tự về đích từ thứ nhất đến thứ năm.
Gợi ý: Xét hai cặp Bình–An và Hà–Chi.
Bài 7. Chỉ một người nói đúng
Một món quà nằm trong đúng một trong ba hộp A, B, C. An nói: “Quà ở hộp B”. Bình nói: “Quà không ở hộp A”. Chi nói: “Quà không ở hộp B”. Biết chỉ có một người nói đúng. Quà ở đâu?
Gợi ý: Thử lần lượt ba vị trí của món quà và đếm số câu đúng.
Bài 8. Có thể đúng đúng hai câu không?
Một bạn cho rằng có số tự nhiên mà trong ba câu sau có đúng hai câu đúng: “Số đó chia hết cho 2”, “Số đó chia hết cho 3”, “Số đó chia hết cho 6”. Nhận định ấy có đúng không? Giải thích bằng suy luận, không chỉ thử vài số.
Gợi ý: Nhớ rằng một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi chia hết cho cả 2 và 3.
Bài 9. Màu thẻ và ba lời phát biểu
An, Bình, Cường nhận ba thẻ màu đỏ, xanh, vàng, mỗi bạn một màu. Đã biết Cường nhận thẻ vàng. An nói: “Tớ nhận thẻ đỏ”. Bình nói: “An không nhận thẻ đỏ”. Cường nói: “Bình nhận thẻ xanh”. Biết trong ba câu chỉ một câu đúng. Hỏi thẻ của An và Bình có màu gì?
Gợi ý: Hai câu của An và Bình luôn trái ngược nhau.
Bài 10. Rút bi để chắc chắn có ba viên cùng màu
Một hộp có 5 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 3 viên bi vàng. Không nhìn vào hộp, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có ba viên cùng màu?
Gợi ý: Tìm số viên nhiều nhất có thể lấy mà vẫn chưa có ba viên cùng màu.
Bài 11. Rút bi để chắc chắn có hai viên xanh
Hộp có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng. Không nhìn vào hộp, cần lấy ít nhất bao nhiêu viên để chắc chắn có ít nhất hai viên xanh?
Gợi ý: Giả sử mọi viên không phải xanh đều bị lấy ra trước.
Bài 12. Đi lên bảy bậc thang
Một cầu thang có 7 bậc. Mỗi bước, An được đi lên 1 bậc hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách đi từ chân cầu thang đến đúng bậc thứ 7? Hai cách được coi là khác nhau nếu thứ tự các bước 1 bậc, 2 bậc khác nhau.
Gợi ý: Phân loại theo số bước đi 2 bậc.
Bài 13. Gà, vịt và thỏ
Một trang trại có 20 con gồm gà, vịt và thỏ, tổng cộng 56 chân. Số gà nhiều hơn số vịt 2 con. Hỏi có bao nhiêu con mỗi loại?
Gợi ý: Dùng số chân để tìm thỏ trước, sau đó dùng tổng và hiệu tìm gà, vịt.
Bài 14. Tìm số có ba chữ số bằng suy luận
Tìm số có ba chữ số khác nhau, biết chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng đơn vị; chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị 3 đơn vị; tổng ba chữ số bằng 19.
Gợi ý: Coi chữ số hàng đơn vị là một phần.
Bài 15. Chuyển bi rồi ba hộp bằng nhau
Ba hộp A, B, C có tổng cộng 24 viên bi. Chuyển 3 viên từ hộp A sang hộp B, sau đó chuyển 2 viên từ hộp B sang hộp C thì ba hộp có số bi bằng nhau. Hỏi ban đầu mỗi hộp có bao nhiêu viên?
Gợi ý: Suy luận ngược từ trạng thái cuối, thực hiện các phép chuyển theo thứ tự ngược lại.
Lời giải và kiểm tra kết quả
Đối chiếu lập luận của mình với từng lời giải. Một đáp số đúng nhưng chưa giải thích đủ điều kiện thì vẫn cần bổ sung cách suy luận.
Lời giải Bài 1 – Loại trừ trong bốn câu lạc bộ
Chi chọn Tiếng Anh. An không chọn Toán, không chọn Khoa học, lại không thể chọn Tiếng Anh nên An chọn Mĩ thuật. Còn Toán và Khoa học cho Bình, Dũng. Vì Bình không chọn Toán nên Bình chọn Khoa học, Dũng chọn Toán. Kiểm tra: bốn câu lạc bộ khác nhau và mọi điều kiện đều đúng.
Lời giải Bài 2 – Ai ngồi ở ghế nào?
Quỳnh ở ghế 4. Nếu Mai ở ghế 2 thì Nam ở ghế 1 và Phúc phải ở ghế 3, cạnh Quỳnh: trái điều kiện. Vậy Mai ở ghế 3, Nam ở ghế 2. Phúc nhận ghế 1, không ngồi cạnh Quỳnh. Thứ tự từ trái sang phải: Phúc – Nam – Mai – Quỳnh.
Lời giải Bài 3 – Ba hộp dán nhãn đều sai
Hộp ghi “Đỏ và xanh” chắc chắn không phải hộp pha hai màu, nên chỉ có một màu. Rút một viên từ hộp này. Nếu viên rút ra đỏ, hộp đó chỉ có bi đỏ; hộp ghi “Xanh” không thể chỉ có xanh nên là hộp pha hai màu; hộp ghi “Đỏ” còn lại chỉ có xanh. Nếu rút ra xanh, hộp ghi “Đỏ và xanh” chỉ có xanh; hộp ghi “Đỏ” phải là hộp pha hai màu; hộp ghi “Xanh” còn lại chỉ có đỏ. Như vậy, một lần rút luôn đủ để nhận diện ba hộp.
Lời giải Bài 4 – Xếp năm quyển sách
D ở vị trí 1. Hai cặp A–B và E–C chiếm bốn vị trí còn lại. Vì C ở bên phải B nên cặp A–B phải đứng trước cặp E–C. Thứ tự duy nhất là D – A – B – E – C. Thử lại, cả ba quan hệ vị trí đều đúng.
Lời giải Bài 5 – Lịch hoạt động bốn ngày
Thể thao ở thứ Năm. Trong ba ngày thứ Hai, Ba, Tư, Vẽ phải liền trước Cờ vua, còn Hát ở trước Vẽ. Bởi vậy Hát thứ Hai, Vẽ thứ Ba, Cờ vua thứ Tư và Thể thao thứ Năm.
Lời giải Bài 6 – Thứ hạng năm bạn chạy bộ
Dũng đã chiếm vị trí thứ nhất. Bốn vị trí 2, 3, 4, 5 phải xếp hai cặp Bình–An và Hà–Chi, mỗi cặp liền nhau. Vì Chi về sau An nên cả cặp Hà–Chi phải đứng sau cặp Bình–An. Do đó thứ tự là Dũng – Bình – An – Hà – Chi. Không còn cách sắp xếp nào khác.
Lời giải Bài 7 – Chỉ một người nói đúng
Nếu quà ở A: An sai, Bình sai, Chi đúng; có đúng một người nói đúng. Nếu quà ở B: An đúng, Bình đúng, Chi sai; có hai người nói đúng. Nếu quà ở C: An sai, Bình đúng, Chi đúng; cũng có hai người nói đúng. Vì vậy quà chỉ có thể ở hộp A.
Lời giải Bài 8 – Có thể đúng đúng hai câu không?
Không thể có đúng hai câu đúng. Nếu hai câu “chia hết cho 2” và “chia hết cho 3” cùng đúng thì số đó chia hết cho 6, nên cả ba câu đều đúng. Nếu câu “chia hết cho 6” đúng thì hai câu còn lại cũng đúng. Nếu câu “chia hết cho 6” sai thì số đó không thể đồng thời chia hết cho 2 và 3, nên có nhiều nhất một trong hai câu đầu đúng. Vì vậy số câu đúng chỉ có thể là 0, 1 hoặc 3.
Lời giải Bài 9 – Màu thẻ và ba lời phát biểu
An và Bình nói hai điều đối nhau, nên trong hai câu ấy luôn có đúng một câu đúng. Vì cả ba câu chỉ có một câu đúng, câu của Cường phải sai: Bình không nhận thẻ xanh. Cường đã nhận vàng, nên Bình nhận đỏ và An nhận xanh. Kiểm tra: An sai, Bình đúng, Cường sai.
Lời giải Bài 10 – Rút bi để chắc chắn có ba viên cùng màu
Trường hợp bất lợi nhất, ta lấy 2 viên đỏ, 2 viên xanh, 2 viên vàng: tổng 6 viên mà chưa có màu nào đủ ba viên. Viên thứ 7 bắt buộc làm một trong ba màu xuất hiện ít nhất ba lần. Vậy cần ít nhất 7 viên. Số 6 chưa đủ vì tình huống 2–2–2 vẫn có thể xảy ra.
Lời giải Bài 11 – Rút bi để chắc chắn có hai viên xanh
Có 4 + 6 = 10 viên không phải xanh. Có thể lấy cả 10 viên ấy rồi thêm 1 viên xanh, tổng 11 viên mà mới chỉ có một viên xanh. Khi lấy viên thứ 12, chắc chắn đã có ít nhất hai viên xanh. Vậy đáp số là 12 viên, và 11 viên chưa bảo đảm.
Lời giải Bài 12 – Đi lên bảy bậc thang
Không có bước 2 bậc: chỉ 1 cách (bảy bước 1 bậc). Có một bước 2 bậc: còn 5 bước 1 bậc, tổng 6 bước; đặt bước 2 bậc vào 6 vị trí nên có 6 cách. Có hai bước 2 bậc: còn 3 bước 1 bậc, tổng 5 bước; chọn hai vị trí cho bước 2 bậc được 5 × 4 : 2 = 10 cách. Có ba bước 2 bậc: còn 1 bước 1 bậc, tổng 4 bước; chọn vị trí của bước 1 bậc được 4 cách. Không thể có bốn bước 2 bậc vì vượt 7 bậc. Tổng cộng 1 + 6 + 10 + 4 = 21 cách.
Lời giải Bài 13 – Gà, vịt và thỏ
Nếu cả 20 con đều có hai chân thì có 20 × 2 = 40 chân. Số chân nhiều hơn là 56 − 40 = 16; mỗi con thỏ hơn gà hoặc vịt 2 chân nên có 16 : 2 = 8 con thỏ. Còn 20 − 8 = 12 con gà và vịt. Gà nhiều hơn vịt 2 con nên số gà là (12 + 2) : 2 = 7; số vịt là 12 − 7 = 5. Thử lại: 7 + 5 + 8 = 20 con và 7 × 2 + 5 × 2 + 8 × 4 = 56 chân.
Lời giải Bài 14 – Tìm số có ba chữ số bằng suy luận
Hàng trăm bằng hai phần, hàng chục bằng một phần cộng 3. Vậy tổng bốn phần cộng 3 bằng 19; bốn phần bằng 19 − 3 = 16 nên một phần là 4. Hàng đơn vị 4, hàng chục 4 + 3 = 7, hàng trăm 4 × 2 = 8. Số cần tìm là 874; ba chữ số khác nhau và 8 + 7 + 4 = 19.
Lời giải Bài 15 – Chuyển bi rồi ba hộp bằng nhau
Sau hai lần chuyển, mỗi hộp có 24 : 3 = 8 viên. Đi ngược bước thứ hai (đã chuyển 2 viên từ B sang C): trước bước này B có 8 + 2 = 10 viên, C có 8 − 2 = 6 viên, A có 8 viên. Đi ngược bước thứ nhất (đã chuyển 3 viên từ A sang B): ban đầu A có 8 + 3 = 11 viên, B có 10 − 3 = 7 viên, C có 6 viên. Thử lại: (11, 7, 6) chuyển 3 viên từ A sang B được (8, 10, 6), rồi chuyển 2 viên từ B sang C được (8, 8, 8).
Lưu ý khi học Toán nâng cao lớp 5
Với bài suy luận đúng – sai, cần xét hết các trường hợp; với bài “ít nhất bao nhiêu để chắc chắn”, phải chứng minh cả hai ý: lấy từng ấy là đủ, còn bớt một đơn vị thì có thể chưa đủ. Những cách trình bày ngắn gọn mà đủ lập luận vẫn được khuyến khích.
Đọc thêm: Sơ đồ Ven lớp 5 (xử lý nhóm và phần giao), Bài toán đếm cách lớp 5 nâng cao (liệt kê cách có hệ thống).
Góc Hỏi Đáp (0 bình luận)