Bài toán đếm cách lớp 5 nâng cao

Bài toán đếm cách lớp 5 nâng cao giúp học sinh biết chia một công việc thành các bước, tách các trường hợp và kiểm tra điều kiện để đếm đủ mà không đếm trùng. Các bài dưới đây không chỉ thay số mà yêu cầu lựa chọn cách đếm phù hợp.

Kiến thức cần nhớ

• Nếu một công việc phải thực hiện qua nhiều bước nối tiếp thì có thể đếm số lựa chọn ở từng bước rồi nhân các số đó.
• Nếu một công việc có thể xảy ra theo những trường hợp tách biệt thì đếm từng trường hợp rồi cộng lại.
• Khi lập số, chữ số đầu tiên không được là 0; nếu đề yêu cầu các chữ số khác nhau thì sau mỗi lần chọn phải loại chữ số đã dùng.
• Khi có điều kiện chẵn, lẻ hoặc lớn hơn, bé hơn một số cho trước, nên xét vị trí quyết định trước để giảm số trường hợp.

Cách suy luận

1. Xác định rõ mỗi cách cần gồm những lựa chọn nào.
2. Xét điều kiện bắt buộc trước, chẳng hạn chữ số hàng đơn vị phải chẵn.
3. Đếm từng trường hợp riêng rồi cộng; với các bước nối tiếp thì nhân số lựa chọn.
4. Kiểm tra lại xem có trường hợp bị bỏ sót hoặc bị đếm hai lần hay không.

Ví dụ có hướng dẫn giải

Ví dụ 1

Đề bài: Có 3 áo và 4 quần khác nhau. Chọn 1 áo và 1 quần có bao nhiêu cách?

Hướng dẫn giải: Mỗi áo ghép được với 4 quần. Có 3×4=12 cách.

Ví dụ 2

Đề bài: Dùng các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 để lập số có ba chữ số chẵn, các chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số?

Hướng dẫn giải: Nếu hàng đơn vị là 0 thì hàng trăm có 4 cách, hàng chục có 3 cách: 4×3=12 số. Nếu hàng đơn vị là 2 hoặc 4 thì có 2 cách chọn hàng đơn vị; hàng trăm có 3 cách chọn trong các chữ số khác 0 còn lại; hàng chục có 3 cách. Có 2×3×3=18 số. Tổng cộng 12+18=30 số.

Ví dụ 3

Đề bài: Từ A đến B có 3 đường, từ B đến C có 2 đường. Một người đi A → B → C rồi quay về C → B → A, khi về không đi lại đúng con đường vừa dùng ở mỗi chặng. Có bao nhiêu hành trình?

Hướng dẫn giải: Lượt đi có 3×2=6 cách. Với mỗi lượt đi, khi về từ C đến B chỉ còn 1 đường khác; từ B về A còn 2 đường khác. Vậy mỗi lượt đi có 1×2=2 cách về. Có tất cả 6×2=12 hành trình.

Ví dụ 4

Đề bài: Có 5 bạn. Chọn 1 bạn làm nhóm trưởng và 1 bạn khác làm thư ký. Có bao nhiêu cách?

Hướng dẫn giải: Có 5 cách chọn nhóm trưởng. Sau đó còn 4 cách chọn thư ký. Có 5×4=20 cách.

Bài tập luyện tập

1. Có 4 loại áo và 3 loại quần. Chọn 1 áo và 1 quần có bao nhiêu cách?
2. Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập số có hai chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số?
3. Dùng 0, 2, 5, 7, mỗi chữ số dùng đúng một lần, lập số có bốn chữ số chẵn. Có bao nhiêu số?
4. Dùng 0, 1, 2, 3, 4 lập số có ba chữ số lẻ, các chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số?
5. Từ A đến B có 4 đường, từ B đến C có 3 đường. Đi từ A đến C và bắt buộc qua B có bao nhiêu cách?
6. Có 5 bạn. Chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó, hai chức vụ do hai bạn khác nhau đảm nhiệm. Có bao nhiêu cách?
7. Một quầy có 3 loại đồ uống và 4 loại bánh. Chọn 1 đồ uống và 1 bánh có 12 cách, nhưng cặp trà – bánh sô-cô-la không được chọn cùng nhau. Còn bao nhiêu cách hợp lệ?
8. Có 4 màu để tô một lá cờ gồm 3 dải ngang. Hai dải kề nhau không được cùng màu; một màu có thể dùng lại ở hai dải không kề nhau. Có bao nhiêu cách tô?
9. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số có hai chữ số khác nhau sao cho chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị. Có bao nhiêu số?
10. Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4 lập số có ba chữ số chẵn, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
11. Đi từ A đến C có hai hướng: qua B hoặc qua D. Qua B có 2 đường A–B và 3 đường B–C; qua D có 1 đường A–D và 4 đường D–C. Có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
12. Có 4 cuốn sách khác nhau. Chọn 2 cuốn để mang theo, không phân biệt thứ tự chọn. Có bao nhiêu cách?

Lời giải chi tiết

1. Có 4×3=12 cách.
2. Hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị còn 4 cách. Có 5×4=20 số.
3. Nếu hàng đơn vị là 0 thì ba chữ số còn lại xếp vào ba vị trí có 3×2×1=6 cách. Nếu hàng đơn vị là 2 thì hàng nghìn chỉ có thể là 5 hoặc 7: 2 cách; hai chữ số còn lại đổi chỗ được 2 cách. Có 2×2=4 số. Tổng cộng 6+4=10 số.
4. Hàng đơn vị phải là 1 hoặc 3: 2 cách. Hàng trăm chọn trong 3 chữ số khác 0 còn lại: 3 cách. Hàng chục còn 3 cách. Có 2×3×3=18 số.
5. Có 4×3=12 cách.
6. Có 5×4=20 cách.
7. Ban đầu có 3×4=12 cặp. Loại 1 cặp không hợp lệ nên còn 12-1=11 cách.
8. Dải thứ nhất có 4 cách chọn màu. Dải thứ hai có 3 cách vì phải khác dải thứ nhất. Dải thứ ba có 3 cách vì chỉ cần khác dải thứ hai. Có 4×3×3=36 cách.
9. Mỗi cặp hai chữ số khác nhau chỉ tạo đúng một số có hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. Các cặp là 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 nên có 10 số.
10. Hàng đơn vị có 2 cách: 2 hoặc 4. Hàng trăm còn 3 cách, hàng chục còn 2 cách. Có 2×3×2=12 số.
11. Qua B có 2×3=6 cách. Qua D có 1×4=4 cách. Hai hướng tách biệt nên có 6+4=10 cách.
12. Liệt kê theo cuốn thứ nhất: ghép cuốn 1 với 2, 3, 4 được 3 cặp; cuốn 2 với 3, 4 được 2 cặp; cuốn 3 với 4 được 1 cặp. Có 3+2+1=6 cách.

Ghi nhớ

Khi đếm cách, điều quan trọng nhất là nhận ra lúc nào phải nhân, lúc nào phải cộng và điều kiện nào cần xét trước. Sau khi đếm xong nên thử liệt kê một trường hợp nhỏ để kiểm tra cách đếm.