Bài toán đếm cách lớp 5 nâng cao

Bài toán đếm cách lớp 5 nâng cao giúp học sinh biết chia một công việc thành các bước, tách các trường hợp và kiểm tra điều kiện để đếm đủ mà không đếm trùng. Các bài dưới đây không chỉ thay số mà yêu cầu lựa chọn cách đếm phù hợp.

Đếm theo bước và theo trường hợp

• Nếu một công việc phải thực hiện qua nhiều bước nối tiếp thì có thể đếm số lựa chọn ở từng bước rồi nhân các số đó.
• Nếu một công việc có thể xảy ra theo những trường hợp tách biệt thì đếm từng trường hợp rồi cộng lại.
• Khi lập số, chữ số đầu tiên không được là 0; nếu đề yêu cầu các chữ số khác nhau thì sau mỗi lần chọn phải loại chữ số đã dùng.
• Khi có điều kiện chẵn, lẻ hoặc lớn hơn, bé hơn một số cho trước, nên xét vị trí quyết định trước để giảm số trường hợp.

Khi nào nhân số cách, khi nào cộng?

1. Xác định rõ mỗi cách cần gồm những lựa chọn nào.
2. Xét điều kiện bắt buộc trước, chẳng hạn chữ số hàng đơn vị phải chẵn.
3. Đếm từng trường hợp riêng rồi cộng; với các bước nối tiếp thì nhân số lựa chọn.
4. Kiểm tra lại xem có trường hợp bị bỏ sót hoặc bị đếm hai lần hay không.

Dùng phép nhân khi sau mỗi lựa chọn ở bước đầu, số cách thực hiện bước sau là như nhau. Nếu số cách ở bước sau thay đổi, hãy tách thành các trường hợp rồi cộng, tránh đếm trùng.

Ví dụ có hướng dẫn giải

Ví dụ 1

Đề bài: Có 3 áo và 4 quần khác nhau. Chọn 1 áo và 1 quần có bao nhiêu cách?

Hướng dẫn giải: Mỗi áo ghép được với 4 quần. Có 3×4=12 cách.

Ví dụ 2

Đề bài: Một quán có 3 loại bánh và 4 loại đồ uống. Chọn một bánh và một đồ uống, nhưng hai cặp bánh–đồ uống không thể kết hợp do khách bị dị ứng. Có bao nhiêu cách chọn hợp lệ?

Hướng dẫn giải: Nếu không có hạn chế, mỗi loại bánh đi với 4 đồ uống, tổng cộng 3×4=12 cách. Hai cặp bị cấm là hai lựa chọn khác nhau nên loại 2 cách. Còn 12-2=10 cách hợp lệ.

Ví dụ 3

Đề bài: Từ A đến B có 3 đường, từ B đến C có 2 đường. Một người đi A → B → C rồi quay về C → B → A, khi về không đi lại đúng con đường vừa dùng ở mỗi chặng. Có bao nhiêu hành trình?

Hướng dẫn giải: Lượt đi có 3×2=6 cách. Với mỗi lượt đi, khi về từ C đến B chỉ còn 1 đường khác; từ B về A còn 2 đường khác. Vậy mỗi lượt đi có 1×2=2 cách về. Có tất cả 6×2=12 hành trình.

Ví dụ 4

Đề bài: Có 5 bạn. Chọn 1 bạn làm nhóm trưởng và 1 bạn khác làm thư ký. Có bao nhiêu cách?

Hướng dẫn giải: Có 5 cách chọn nhóm trưởng. Sau đó còn 4 cách chọn thư ký. Có 5×4=20 cách.

Bài tập luyện tập

1. Có 4 loại áo và 3 loại quần. Chọn 1 áo và 1 quần có bao nhiêu cách?
2. Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập số có hai chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số?
3. Dùng 0, 2, 5, 7, mỗi chữ số dùng đúng một lần, lập số có bốn chữ số chẵn. Có bao nhiêu số?
4. Dùng 0, 1, 2, 3, 4 lập số có ba chữ số lẻ, các chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số?
5. Từ A đến B có 4 đường, từ B đến C có 3 đường. Đi từ A đến C và bắt buộc qua B có bao nhiêu cách?
6. Có 5 bạn. Chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó, hai chức vụ do hai bạn khác nhau đảm nhiệm. Có bao nhiêu cách?
7. Một quầy có 3 loại đồ uống và 4 loại bánh. Chọn 1 đồ uống và 1 bánh có 12 cách, nhưng cặp trà – bánh sô-cô-la không được chọn cùng nhau. Còn bao nhiêu cách hợp lệ?
8. Có 4 màu để tô một lá cờ gồm 3 dải ngang. Hai dải kề nhau không được cùng màu; một màu có thể dùng lại ở hai dải không kề nhau. Có bao nhiêu cách tô?
9. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số có hai chữ số khác nhau sao cho chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị. Có bao nhiêu số?
10. Dùng các chữ số 1, 2, 3, 4 lập số có ba chữ số chẵn, không lặp chữ số. Có bao nhiêu số?
11. Đi từ A đến C có hai hướng: qua B hoặc qua D. Qua B có 2 đường A–B và 3 đường B–C; qua D có 1 đường A–D và 4 đường D–C. Có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
12. Có 4 cuốn sách khác nhau. Chọn 2 cuốn để mang theo, không phân biệt thứ tự chọn. Có bao nhiêu cách?

Lời giải chi tiết

1. Bài 1.

   Bài giải

   Có 4 lựa chọn áo. Với mỗi áo đã chọn, có 3 lựa chọn quần.

   Số cách chọn một bộ áo và quần là: 4×3=12 (cách).

   Đáp số: 12 cách.

2. Bài 2.

   Bài giải

   Có 5 cách chọn chữ số hàng chục. Vì hai chữ số khác nhau nên sau khi chọn hàng chục chỉ còn 4 cách chọn hàng đơn vị.

   Số có hai chữ số lập được là: 5×4=20 (số).

   Đáp số: 20 số.

3. Bài 3. Nếu hàng đơn vị là 0 thì ba chữ số còn lại xếp vào ba vị trí có 3×2×1=6 cách. Nếu hàng đơn vị là 2 thì hàng nghìn chỉ có thể là 5 hoặc 7: 2 cách; hai chữ số còn lại đổi chỗ được 2 cách. Có 2×2=4 số. Tổng cộng 6+4=10 số.
4. Bài 4. Hàng đơn vị phải là 1 hoặc 3: 2 cách. Hàng trăm chọn trong 3 chữ số khác 0 còn lại: 3 cách. Hàng chục còn 3 cách. Có 2×3×3=18 số.
5. Bài 5.

   Bài giải

   Có 4 đường từ A đến B và 3 đường từ B đến C. Mỗi cách chọn chặng thứ nhất ghép được với cả 3 cách chọn chặng thứ hai.

   Số hành trình A → B → C là: 4×3=12 (cách).

   Đáp số: 12 cách.

6. Bài 6.

   Bài giải

   Có 5 cách chọn lớp trưởng. Chọn xong lớp trưởng thì chỉ còn 4 bạn khác được chọn làm lớp phó.

   Số cách phân công hai chức vụ là: 5×4=20 (cách).

   Đáp số: 20 cách.

7. Bài 7. Ban đầu có 3×4=12 cặp. Loại 1 cặp không hợp lệ nên còn 12-1=11 cách.
8. Bài 8. Dải thứ nhất có 4 cách chọn màu. Dải thứ hai có 3 cách vì phải khác dải thứ nhất. Dải thứ ba có 3 cách vì chỉ cần khác dải thứ hai. Có 4×3×3=36 cách.
9. Bài 9. Mỗi cặp hai chữ số khác nhau chỉ tạo đúng một số có hàng chục lớn hơn hàng đơn vị. Các cặp là 12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45 nên có 10 số.
10. Bài 10. Hàng đơn vị có 2 cách: 2 hoặc 4. Hàng trăm còn 3 cách, hàng chục còn 2 cách. Có 2×3×2=12 số.
11. Bài 11. Qua B có 2×3=6 cách. Qua D có 1×4=4 cách. Hai hướng tách biệt nên có 6+4=10 cách.
12. Bài 12. Liệt kê theo cuốn thứ nhất: ghép cuốn 1 với 2, 3, 4 được 3 cặp; cuốn 2 với 3, 4 được 2 cặp; cuốn 3 với 4 được 1 cặp. Có 3+2+1=6 cách.

Ghi nhớ

Khi đếm cách, điều quan trọng nhất là nhận ra lúc nào phải nhân, lúc nào phải cộng và điều kiện nào cần xét trước. Sau khi đếm xong nên thử liệt kê một trường hợp nhỏ để kiểm tra cách đếm.